Efter at have overgået alle sine modstandere er Donald Trump den formodede kandidat for det republikanske parti. Hillary Clinton lukker ind for at låse den demokratiske nominering op.
Clinton og Trump har muligvis vundet primærvalg, men er de virkelig repræsentative for, hvad det amerikanske folk ønsker? Faktisk, som vi vil vise, er det John Kasich og Bernie Sanders, der er de første i nationens agtelse. Trump og Clinton kommer sidst.
Så hvordan er det kommet til dette? Medierne har naturligvis spillet en stor rolle, men at Trump versus Clinton næsten helt sikkert vil være valget i november, er resultatet af den totalt absurde valgmetode, der blev brugt i primærvalget: flertalsafstemning.
Dette er en stærk erklæring. Men som matematikere, der har brugt de sidste dusin år studerer afstemningssystemer, vi skal vise dig, hvorfor det er berettiget, og hvordan dette problem kan løses.
Problemet med flertalsafstemning
Ved flertalsafstemning (MV) markerer vælgerne højst navnet på en kandidat, og antallet af flåter bestemmer vinderen og rækkefølgen af mål. Det er et system, der bruges i hele USA (og i mange andre nationer) til at vælge præsidenter såvel som senatorer, repræsentanter og guvernører.
Men det har ofte undladt at vælge den kandidat, som flertallet foretrækker.
I 2000 blev George W. Bush for eksempel valgt til præsident på grund af Ralph Naders kandidatur. I den anfægtede stat Florida havde Bush 2,912,790 stemmer, Al Gore 2,912,253 (kun 537 færre) og Nader 97,488. Der er ingen tvivl om, at stort flertal af dem, der stemte på Nader, og foretrak ham derfor frem for de andre, foretrak meget Gore frem for Bush. Havde de været i stand til at udtrykke denne præference, ville Gore være valgt med 291 Electoral College stemmer til Bushs 246. Lignende dysfunktioner er også forekommet i Fransk vin.
Forestil dig, hvor forskelligt USA og verden kan være i dag, hvis Gore havde vundet.
Primærerne i 2016
Et hurtigt blik på Amerikanske præsidentpræsidentvalg og afhold holdt den 1. marts eller før viser, at da Trump var ”vinderen”, fik han typisk omkring 40 procent af stemmerne. Imidlertid er der intet i det resultat, der påvirker udtalelsen fra de 60 procent af vælgerne, der afgiver afstemning til en anden.
Da Trump er en særdeles splittende kandidat, er det sikkert at antage, at de fleste - eller i det mindste mange - af dem stærkt imod ham. Medierne fokuserede dog på den person, der fik det største antal stemmer - hvilket betyder Trump. På den demokratiske side af hovedbogen kastede medierne ligeledes opmærksomhed på Hillary Clinton og ignorerede Bernie Sanders, indtil udbredt entusiastisk støtte tvang en ændring.
Kilden til problemet
Et valg er intet andet end en opfundet enhed, der måler vælgernes støtte til kandidaterne, rangerer dem efter deres støtte og erklærer vinderen for at være den første i rangordningen.
Faktum er, at flertalsafstemning gør det meget dårligt.
Med MV kan vælgerne ikke udtrykke deres mening om alle kandidater. I stedet er hver vælger begrænset til kun at støtte en kandidat, med udelukkelse af alle andre i løbet.
Bush besejrede Gore, fordi Nader-vælgerne ikke var i stand til at afveje de to andre. Som vi argumenterer videre for, kan flertalsafstemning desuden gå galt, selv når der kun er to kandidater.
Pointen er, at det er vigtigt for vælgerne at være i stand til at udtrykke nuancerne i deres meninger.
Hvad skal der gøres? Brug flertalsbedømmelse
Majority judgement (MJ) er en ny valgmetode, som vi specifikt designet til undgå faldgruberne ved de traditionelle metoder.
MJ beder vælgerne om at udtrykke deres meninger meget mere præcist end blot at stemme på en kandidat. Afstemningen tilbyder et spektrum af valg og anklager vælgerne en højtidelig opgave:
For at være præsident for Amerikas Forenede Stater, under hensyntagen til alle relevante overvejelser, bedømmer jeg, at denne kandidat som præsident ville være en: Stor præsident | God præsident | Gennemsnitlig præsident | Dårlig præsident | Frygtelig præsident
For at se nøjagtigt hvordan MJ rangerer kandidaterne, lad os se på specifikke tal.
Vi var heldige at finde på nettet, at ovenstående spørgsmål faktisk blev stillet i en marts Pew Research Center afstemning af 1,787 registrerede vælgere af alle politiske striber. (Det skal bemærkes, at hverken respondenterne eller meningsmålerne var klar over, at svarene kunne være grundlaget for en valgmetode.) Pew-afstemningen indeholdt også muligheden for at besvare “Never Heard Of”, som her fortolkes som værre end “ Frygtelig ”da det svarer til, at vælgeren siger, at kandidaten ikke eksisterer.
Som det fremgår af nedenstående tabel, er folks meninger meget mere detaljerede, end man kan udtrykke ved flertalsafstemning. Bemærk især de relativt høje procentdele af vælgere, der mener, at Clinton og især Trump ville gøre frygtelige præsidenter (Pew rapporterer det Trumps "Forfærdelige" score steg med 6 procent siden januar.)
Brug af flertalsvurdering til at beregne den rangerede rækkefølge af kandidaterne fra disse evalueringer eller karakterer er ligetil. Start fra hver ende af spektret, og tilføj procenter, indtil et flertal af vælgernes meninger er inkluderet.
Når man tager John Kasich som et eksempel, mener 5 procent, at han er "Stor", 5 + 28 = 33 procent, at han er "god" eller bedre, og 33 + 39 = 72 procent (et flertal), at han er "gennemsnitlig" eller bedre . Set fra den anden ende, 9 procent “Aldrig hørt” af ham, 9 + 7 = 16 procent mener, at han er “Frygtelig” eller værre, 16 + 13 = 29 procent, at han er “dårlig” eller dårligere, og 29 + 39 = 68 procent (et flertal) at han er “gennemsnitlig” eller dårligere.
Begge beregninger slutter på flertallet for "Gennemsnit", så Kasichs majoritetsklasse er "Gennemsnitlig præsident." (Matematisk når beregningerne fra begge retninger for en given kandidat altid flertal i samme lønklasse.)
Tilsvarende beregnet har Sanders, Clinton og Cruz alle den samme majoritetsklasse, "Gennemsnitlig præsident." Trumps er "Dårlig præsident" og rangerer ham sidst.
For at bestemme MJ-placeringen blandt de fire, som alle er klassificeret som "Gennemsnit", er to yderligere beregninger nødvendige.
Den første ser på procentdelen af vælgere, der vurderer en kandidat højere end hans eller hendes majoritetsklasse, den anden på procentdelen, der vurderer kandidaten lavere end hans eller hendes majoritetsgrad. Dette leverer et nummer kaldet "gauge". Tænk på det som en skala, hvor flertallets karakter i nogle tilfælde læner sig tungere mod en højere placering og i andre mere tungt mod en lavere placering.
I Kasichs tilfælde vurderede 5 + 28 = 33 procent ham højere end "Gennemsnit", og 13 + 7 + 9 = 29 procent bedømte ham under "Gennemsnit." Fordi den større andel er på den positive side, er hans målestok +33 procent. For Sanders vurderede 36 procent ham over og 39 procent under hans majoritetsklasse. Med den større andel på den negative side er hans målestok -39 procent.
En kandidat rangeres over en anden, når hans eller hendes majoritetsklasse er bedre, eller hvis begge har samme majoritetsklasse, i henhold til deres målere (se nedenfor). Denne regel er det logiske resultat af flertal beslutte kandidaternes karakterer i stedet for den sædvanlige regel, der rangerer kandidater efter antallet af stemmer, de får.
Når vælgerne er i stand til at udtrykke deres evalueringer af hver kandidat - det gode og det dårlige - bliver resultaterne vendt på hovedet fra dem med flertalsafstemning.
Ifølge flertalsafgørelse er frontløberne i den kollektive mening faktisk Kasich og Sanders. Clinton og Trump er trailerne. Fra dette perspektiv gav de dominerende medier alt for meget opmærksomhed på de sande trailere og alt for lidt til de sande ledere.
Fortællende viser MJ også samfundets relativt lave respekt for politikere. Alle fem kandidater vurderes som "gennemsnitlige" præsidenter eller dårligere, og ingen som "gode" præsidenter eller bedre.
Flertalsafstemning mislykkedes med to kandidater
Men du kan protestere, hvordan kan flertalsafstemning om kun to kandidater gå galt? Dette ser ud til at være i modstrid med alt, hvad du lærte siden grundskolen, hvor du løftede hånden for eller imod et klasseværelsesvalg.
Årsagen til, at MV kan gå galt, selv med kun to kandidater, er fordi de ikke får tilstrækkelig information om en vælgers intensitet af støtte.
Tag som et eksempel valget mellem Clinton og Trump, hvis evalueringer i Pew-afstemningen er angivet i den første tabel ovenfor.
Foretrækker deres karakterer fra højeste til laveste, hver af Clintons er enten over eller den samme som Trumps. Elleve procent mener for eksempel, at Clinton ville gøre en "stor" præsident til 10 procent for Trump. Trumps procenter fører Clintons eneste til de forfærdelige og aldrig hørt om dem. I betragtning af disse meninger er det med andre ord klart, at enhver anstændig afstemningsmetode skal placere Clinton foran Trump.
Dog kan flertalsafstemning undlade at gøre det.
For at se hvorfor, antag at "stemmesedlerne" i Pew-afstemningen var i en bunke. Hver kunne ses på hver for sig. Nogle vil bedømme Clinton som "gennemsnitlig" og Trump "dårlig", andre vil bedømme hende "god" og ham "god", andre vil tildele dem nogen af de 36 mulige par i karakterer. Vi kan derfor finde procentdelen af forekomst af hvert par karakterer, der er tildelt Trump og Clinton.
Vi har ikke adgang til Pew-afstemningen "stemmesedler". Man kunne dog komme med mange forskellige scenarier, hvor de enkelte stemmeprocenter er i nøjagtig overensstemmelse med de samlede karakterer, som hver modtages i første tabel.
Blandt de forskellige mulige scenarier har vi valgt en, der i teorien kunne være den sande. Faktisk kan du selv kontrollere, at det tildeler kandidaterne karaktererne, hver modtaget: læsning fra venstre mod højre, Clinton havde for eksempel 10 + 12 = 22 procent "God", 16 + 4 = 20 procent "Gennemsnit" og så videre; og det samme gælder for Trump.
Så hvad fortæller os denne hypotetiske fordeling af stemmesedlerne om de to?
Den første kolonne til venstre siger, at 10 procent af vælgerne vurderede Clinton som "god" og Trump "god". Ved flertalsafstemning ville de gå efter Trump. Og ved at gå til den tiende søjle vurderede 4 procent Clinton "dårlig" og Trump "frygtelig." Ved flertalsafstemning ville denne gruppe vælge Clinton. Og så videre.
Hvis du sammenlægger stemmerne i hver af disse 11 kolonner, modtager Trump stemmerne fra de mennesker, hvis meninger afspejles i fire kolonner: 10 + 16 + 12 + 15 = 53 procent; Clinton støttes af vælgerne med meninger fra kolonner med 33 procent opbakning; og 14 procent er ubeslutsomme. Selv hvis de ubeslutte alle stemte på Clinton, ville Trump bære dagen.
Dette viser, at flertalsafstemning kan give et meget forkert resultat: en sejrrig sejr for Trump, når Clintons karakterer konsekvent ligger over hans!
En fugleperspektiv
Afstemning har været genstand for intens matematisk forskning siden 1950, da økonom Kenneth Arrow offentliggjorde sin berømte "Umulighedssætning," et af de to store bidrag, som han fik Nobelprisen i 1972 for.
Denne sætning viste, at hvis vælgerne skal rangere kandidater - med andre ord, hvem der kommer først, anden og så videre - vil der uundgåeligt være en af to store potentielle fiaskoer. Enten er der muligvis ingen klar vinder overhovedet, den såkaldte “Condorcet paradoks” forekommer, eller hvad der er blevet kaldt ”Pileparadoxet” kan forekomme.
Pileparadoxet er kendt af amerikanerne på grund af hvad der skete under valget i 2000. Bush slog Gore, fordi Nader løb. Havde Nader ikke kørt, ville Gore have vundet. Det er helt sikkert absurd, at valget mellem to kandidater afhænger af, om en mindreårig kandidat deltager eller ikke!
Flertalsdom løser gåde i Arrow's sætning: hverken Condorcet eller Arrow-paradokset kan forekomme. Det gør det, fordi vælgerne bliver bedt om mere nøjagtige oplysninger for at evaluere kandidater snarere end at rangere dem.
MJs regler, der er baseret på flertalsprincippet, lever op til de grundlæggende demokratiske mål for afstemningssystemerne. Med det:
- Vælgerne er i stand til at udtrykke sig mere fuldt ud, så resultaterne afhænger af meget mere information end en enkelt stemme.
- Afstemningsprocessen har vist sig at være naturlig, let og hurtig: vi ved alle om klassificering fra skolen (som Pew-afstemningen implicit realiserede).
- Kandidater med lignende politiske profiler kan løbe uden at påvirke hinandens chancer: en vælger kan give høje (eller lave) evalueringer til alle.
- Den kandidat, der bedømmes bedst af flertallet, vinder.
- MJ er det vanskeligste system at manipulere: blokke af vælgere, der overdriver karaktererne, de giver ud over deres sande meninger, kan kun have en begrænset indflydelse på resultaterne.
- Ved at bede flere af vælgerne ved at vise mere respekt for deres meninger tilskyndes deltagelse. Selv en vælger, der evaluerer alle kandidater identisk (f.eks. Alle er "Frygtelige") har en effekt på resultatet.
- Endelige karakterer - majoritetsklasser - gør det muligt for kandidater og offentligheden at forstå, hvor hver står i vælgernes øjne.
- Hvis flertallet beslutter, at ingen kandidater bedømmes som "gennemsnitlig præsident" eller bedre, kan resultatet af valget blive ophævet, og der kræves en ny skifer af kandidater.
- Det er en praktisk metode, der er blevet testet ved valg og brugt mange gange (til at bedømme prisvindere, vine, jobansøgere, etc.). Det er også blevet formelt foreslået som en måde at reformere det franske præsidentvalgsystem.
Reform nu
Det bør ikke komme som nogen overraskelse, at som svar på en nylig Pew-afstemnings spørgsmål "Tror du, at primærvalget har været en god måde at bestemme, hvem de bedst kvalificerede nominerede er eller ikke?" kun 35 procent af respondenterne sagde ja.
Demokratier overalt lider. Vælgerne protesterer. Borgerne stemmer ikke. Støtten til de politiske ekstremer øges. En af de bagvedliggende årsager, hævder vi, er flertalsafstemning, som den nu praktiseres, og dens indflydelse på medierne.
Vildledt af resultaterne af primærvalg og afstemning koncentrerer medierne sin opmærksomhed om kandidater, der synes at være ledere, men som ofte langt fra er anset for at være acceptable af et flertal af vælgerne. Flertalsdom ville rette op på disse mangler.
Om forfatterne
Michel Balinski, anvendt matematiker og matematisk økonom, "Directeur de recherche de classe exceptionnelle" (emeritus) fra CNRS, École Polytechnique - Université Paris Saclay
Rida Laraki, Directeur de recherche CNRS au LAMSADE, Professeur à l'École polytechnique, Université Paris Dauphine - PSL
Denne artikel blev oprindeligt offentliggjort den The Conversation. Læs oprindelige artikel.
Relaterede bøger
at InnerSelf Market og Amazon
